Hallo Tigerpfote,

Solange der Kühlschrank nicht so kaputt ist, dass er ausgetauscht werden muss, muss der Mieter nichts dazu bezahlen. Ein neuer, wenn auch energiesparender Kühlschrank gehört nicht zur Grundausstattung, es sei denn, es ist irgendwo im Mietvertrag erläutert, was ich jedoch bezweifle.
Wenn du vorhast, den neu gekauften Kühlschrank mit zu nehmen, wenn du umziehst, musst du den alten (der ja noch funktioniert) auf jeden Fall behalten, da du die Wohnung und alle Geräte bei einem Auszug so zurück lassen solltest, wie du sie vorgefunden hast (natürliche Abnutzung einmal ausgenommen).
Ich hoffe, deine Frage wurde damit beantwortet.

Gruß,
Klaus